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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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2. Sea $f(x)=\ln (x+1)$. Encuentre un polinomio $p(x)$ de grado 3 tal que $p(0)=f(0), p^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), p^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)$ y $p^{\prime \prime \prime}(0)=f^{\prime \prime \prime}(0)$.

Respuesta

Lo que nos están pidiendo es justamente el polinomio de Taylor de orden $3$ de $f$, centrado en $x=0$. Sabemos que el polinomio que estamos buscando entonces va a tener esta estructura:

\( p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} \)

Las derivadas de $f$ las calculamos en el Ejercicio anterior. Las evaluamos en $x=0$ y obtenemos:

1. \( f(x) = \ln(x+1) \Rightarrow f(0) = 0 \)
2. \( f'(x) = \frac{1}{x+1} \Rightarrow f'(0) = 1 \)
3. \( f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} \Rightarrow f''(0) = -1 \)
4. \( f^{(3)}(x) = \frac{2}{(x+1)^3} \Rightarrow f^{(3)}(0) = 2 \)

Reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor y ya estamos :)

\( p(x) = 0 + 1 \cdot x - \frac{1 \cdot x^2}{2} + \frac{2 \cdot x^3}{6} \)

Simplificamos: \( p(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \)

Este es el polinomio entonces que estamos buscando :)
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